对一道数学题解法的思考(1)

人类对于无穷的认识,只能是从有穷开始,渐渐地猜测无穷的性质。
 
相信很多人都做过这样一道题:
例1 求值:2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(…)))=_______ .(其中,sqrt是square root的缩写,即平方根,这里当然指算术平方根)
 
:令a=2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(…))). 则a=2+sqrt(a). (1)
      令b=sqrt(a). (1)式变为b^2=2+b. 变形得b^2-b-2=0.
      解得b1=2,b2=-1
      因为b=sqrt(a)>0,所以b=2,即a=4.
      因此,所求式子的值为4.
 
解完这道题,感觉非常不舒服。把问题一般化,简要分析解答如下:
 
:1、2行:令a、b,使式子变为有限式子.
      3行:解方程.
      4行:取唯一可能值.  (*)
      5行:解答.
 
问题就出在第四行。为什么可以舍去一个值呢?舍值是一项技术性的工作,是不能作为一般解法的,除非一定能舍值。这里一定能舍吗?
 
例2:求值:t+sqrt(t+sqrt(t+sqrt(…)))=_______ .
 
:令a=t+sqrt(t+sqrt(t+sqrt(…))). 则a=t+sqrt(a). (1)
      令b=sqrt(a). (1)式变为b^2=t+b. 变形得b^2-b-t=0.
      解得 b1=(1+sqrt(1+4t))/2 , b2=(1-sqrt(1+4t))/2 .
      显然,当t<=0时,b1>=0,b2>=0. 无法舍掉任意一个值。
 
这时,我开始觉得有必要分析一下无穷式子的计算。
 
例3:求值:(1)S1=1+0.1+0.01+0.001+0.0001+…
                 (2)S2=1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(…)))
:这两个看似一样的式子(乘进去就完全一样了),事实上差别相当大。
(未完待续)
PS:
1.昨天晚上突然想到了这道题,想了好长好长时间。不写下来岂不白想了?
2.那天碰到方圆圻了……一句话也没说……溜得倒快……
3.看出上面两个式子差别的人,请一定留言告诉我。
4.今天就写到这里。
Advertisements
This entry was posted in 未分类. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s