Monthly Archives: August 2005

对一道数学题解法的思考(4)

好像间隔时间长了一些……最近又在想一个问题……   (接上期) a200=1.111111…1t(不妨设t是一位数,其他十分类似) 这样,当n趋向于无穷大时,an=1.111111…,与初值t没有任何关系。 到这里,例3的S2才终于算是计算好了。   最后,分类讨论计算一下例2。选取三个例子: 例5 已知a0=t,求当n趋向于无穷大时,an的极限。 1)a(n+1)=2+sqrt(an); 2)a(n+1)=0+sqrt(an); 3)a(n+1)=-0.09+sqrt(an). 解:这里不加解释地给出结论,无意义指的是某一步根号内的数小于零。             2   t>=0 1) an={             无意义 t<0             1  t>0 2) an={ 0  t=0             无意义 t<0             0.81 t>0.01 3) an={ 0.01 t=0.01             无意义 t<0.01 … Continue reading

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一道有趣的题目

看到一道去年国家司法考试的题目,觉得怪有趣的。我个人觉得,本题有十分强烈的影射意义。   单选题: 29.八角岛是位于乙国近海的本属于甲国的岛屿。40年前甲国内战时,乙国乘机强占该岛,并将岛上的甲国居民全部驱逐。随后乙国在国内立法中将该岛纳入乙国版图。甲国至今一直主张对该岛的主权,不断抗议乙国的占领行为并要求乙国撤出该岛,但并未采取武力收复该岛的行动。如果这种实际状态持续下去,根据国际法的有关规则,下列判断哪一项是正确的。A.根据实际统治原则,该岛在乙国占领50年后,其主权就归属乙国B.根据时效原则,该岛在乙国占领50年后,其主权将归属乙国C.根据实际统治和共管原则,乙国占领该岛50年后,该岛屿主权属于甲乙国共有D.根据领土主权原则,即使乙国占领该岛50年后,该岛屿主权仍然属于甲国 我觉得答案应该是显然的。每一个看了这道题的人都必须在这里留下自己认为正确的答案。 名词解释:实际统治,是指对无主地的实际、有效的占领。 时效:基于公开地、不受干扰地、长期持续地占有他国领土而取得对该土地的领土主权。   PS: 看了这道题,真的很佩服出题人的聪明智慧。这实际上就是在说:*国对**岛拥有无可争议的领土主权。标准答案网上到处有,过几天我也把它贴出来……还有一段经典的分析……

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对一道数学题解法的思考(3)

前两天看了《连续统假设》,的确是一本非常好看的书。它对无穷的解释是十分有道理的。   (接上期) 1=(1-0.1^1)/0.9 假设1+0.1+…+10^-(n-1)=(1-0.1^n)/0.9 那么1+0.1+…+10^-n=(1-0.1^(n+1))/0.9 于是,S1=1+0.1+0.01+…=(1-0.1^(x))/0.9=10/9(因为0.1^(x)=0)((x)指无穷大)   数学归纳法的本质,是一个一个命题的递推。因此,数学归纳法的结论是真正的“一步一步”做出来的结论,不应怀疑。而使用了技巧就不一定可信了。比如:求S=1+2+4+8+…的值。则2S=2+4+8+…,两式相减得S= -1。这不是很荒谬吗?显然S应该是无穷大。出现这种错误,是因为我们先假定了它的值是实数才求值的。   例3中开始时用的技巧性求值,实际上是先假定了它们的值存在,再进行计算,因此不那么可靠。而数学归纳法的使用,使S1的值变得可靠了。   S1的算法带来的启发是,我们可以用一串数列来表示计算的过程,并从数列变化的趋势中看出所求式子的值。下面就用这个方法求S2。   例4 已知a0=t,a(n+1)=1+0.1*an. 求a200。 解:其实a200=1+0.1*(1+0.1*(…(1+0.1*t))).于是,这道题就可以做了。它其实是给了例3的S2一个初始值t。这题很简单,编个程序就可以知道答案了。 (未完待续) PS: 今天早上醒来以前,做了一个梦:到了庄子的纪念园里面,看到了那么多的文物,突然忍不住就哭了出来……也不知道是什么理由。梦里面也没想明白,醒了以后也没想明白……

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对一道数学题解法的思考(2)

这些题目其实都非常简单的啦……希望有人回复,可以吗?   (接上期) 例3:求值:(1)S1=1+0.1+0.01+0.001+0.0001+…                  (2)S2=1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(…))) 解:这两个看似一样的式子(乘进去就完全一样了),事实上差别相当大.       小学的时候一定学过:先乘除,后加减.同级运算从左到右,括号里的要先算.       于是,这两个式子最大的不同就是运算顺序.       求S1,先算1,再算1+0.1,再算1+0.1+0.01,再算……       求S2,总体上看,先算S2’=1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(…)),再算S2=1+0.1*(S2′).       而求S2’,总体上看,先算S2”=1+0.1*(1+0.1*(1+0.1*(…)),再算S2’=1+0.1*(S2”).       ……       于是,S1就可以算,而S2就无法算!         简要叙述S1的算法(就是等比数列求和):       S1=         1+0.1+0.01+0.001+…       10S1=10+1+0.1+0.01+0.001+…       所以9S1=10,S1=1.11111111…(直观上也显然是这个答案)       简要叙述S2的算法,S2=1+0.1*S2,所以S2=1.111111…         注意到它们都能算,都通过了一些技巧,而不是所谓的“死算”.       高斯求1加到100,是通过技巧算的。下面给出不用技巧的快速算法:       1=(1+1)*1/2 … Continue reading

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对一道数学题解法的思考(1)

人类对于无穷的认识,只能是从有穷开始,渐渐地猜测无穷的性质。   相信很多人都做过这样一道题: 例1 求值:2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(…)))=_______ .(其中,sqrt是square root的缩写,即平方根,这里当然指算术平方根)   解:令a=2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(…))). 则a=2+sqrt(a). (1)       令b=sqrt(a). (1)式变为b^2=2+b. 变形得b^2-b-2=0.       解得b1=2,b2=-1       因为b=sqrt(a)>0,所以b=2,即a=4.       因此,所求式子的值为4.   解完这道题,感觉非常不舒服。把问题一般化,简要分析解答如下:   解:1、2行:令a、b,使式子变为有限式子.       3行:解方程.       4行:取唯一可能值.  (*)       5行:解答.   问题就出在第四行。为什么可以舍去一个值呢?舍值是一项技术性的工作,是不能作为一般解法的,除非一定能舍值。这里一定能舍吗?   例2:求值:t+sqrt(t+sqrt(t+sqrt(…)))=_______ .   解:令a=t+sqrt(t+sqrt(t+sqrt(…))). 则a=t+sqrt(a). … Continue reading

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这无聊而又美好的暑假……

暑假过半,又没什么值得讨论的,乱写一些。 假期前的最后一天就有一些不一样,一点感觉都没有。记得前面的那个寒假前,似乎是我和甲天下最后走的。我们在桌子上(用带着泥水的鞋子)踩来踩去,藏起一元硬币来找,舒服极了;在徐家汇,又看见rl和她的boyfriend从我们的左边走向右边,一刻钟后又从右边走向左边,我们开始对此问题进行讨论。 这次放假前,却没有觉得与平时学习日有什么不同的。最多是rl不见了,找了n次也没有看到。 假期里和以前差不多无聊,但是出去的日子是多了一些了。去年有一天39度时(似乎是去年最高温的一天),我突发奇想要去伟大、光荣、正确的张聪同志家,公交车上把我能控制的窗全部关起来:冷死了。今年受寒时间大大延长,从六月下旬直到台风来临,一直觉得冷啊……没救了。 值得高兴的是这次骗到了好多msn。三班的那批msn着实让我兴奋了一会儿(上线的时间长),而rl的msn被我猜出来了,虽说挺好猜的,但是猜出来那晚上,一夜没睡好觉啊……感觉就像一件重大的事情干成了,或者说有点像我五年级那次电脑竞赛第一名获得一个文曲星的那种感觉。 就写到这里吧,暑假还有好一会儿呢。 PS: 1.李佳晨 之 梦的解析 注释:世界是确定的。为什么这么说呢?因为每个物体的运动不可能是靠自己自身的力量。(炸弹爆炸一类,不看成炸弹自己的运动,而是分子之间的相互作用。)而在每一个时刻,外界对于其运动状态所施加的变化是确定的。例如,不管月亮怎样动,在某一个特定的时刻,对地球、太阳,以及其他所有物体所施加的力是确定的。因此,它下一个时刻的运动状态也就是确定的了。综观全部物体,当然他们的运动规律也就是确定的了,这其中自然包括生物的运动,以及生物的思维(我一直认为,思维是物质层面上可以观察的。正如说话时有些大脑神经活跃,运动时另一些活跃。我想,在思考不同的事情时,大脑的状态应该是不同的,给予我们观察的机会)。 这也就是说,如果可以将物体的位置及运动速度(其他不用考虑)复原到某一时刻,那么宇宙的演变,以及各种历史事件都将精确地(precisely)重演。 爱因斯坦说过:上帝不玩骰子。意思是,随机事件(在广泛的意义上说)是没有的。 2.Re 李橙 注释:人类只会得到真理的近似。不是说人类的智慧没有达到真正认识真理,只是真正的真理也许会被得到,却永远不能验证。不确定性原理对此有经典的描述。大意是:你要观察一个物体,一定会影响它。测试电场强度时放入检验电荷,教科书上反复说“尽量不要影响原电场分布”,或是忽略影响,正因为这是不能避免的。放一个无论多小的正电荷,都会使中心的小球上原本平均分布的(不妨设)正电荷稍远离检验电荷。这使得得出的只能是近似真理,而真正的真理只可能由人们大胆的猜想得出,无法精确地得到验证。 3.就写到这里吧。

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学农随想(Re 李橙)

虽然学农已经过去很久了,但是发生的一些事情我还是不能忘记。现在记下来,也许不算晚吧。 我想说的,是对于伟大、光荣、正确的张聪同志所崇敬的李橙说的一段话的回答。   http://spaces.msn.com/members/johnjinprivate/Blog/cns!1poNxC9-E8Q6_tMkSzamWrJA!154.entry   具体请点击上面的链接。 我原来想好要有至少五天把它放在最上面,现在只能这样了。   看到李橙的回复事实上是非常高兴的。因为,当然我自己认为我的观点是毫无缺陷的,最多需要小修小补罢了。其他人的反驳可以给我的小修小补提供动力,或是直接促使我放弃自己的观点。 当然,我现在并不想放弃自己的观点(毕竟费了好多脑细胞了)。   1. 法律是可以侵犯的。 两天前看了一本《经济法概论》,摘录部分目录如下 目录 导论…………………………………………………………………………(1)   第一节 法是阶级社会特有的历史现象…………………………(1)   第二节 法的概念………………………………………………………(4)   第三节 法的任务………………………………………………………(10)   第四节 中华人民共和国的法是人类历史上最先进的法(13)   第五节 我国法的形式、体系与效力………………………………(20) 第一章………… …………   在中国的理论体系下,国家是一个阶级统治另一个阶级的暴力机构,法是实施暴力的工具。在这个理论体系下,一切反对人民民主(无产阶级)专政的阶级一律被剥夺了获得中华人民共和国政权的机会,即使他们是多数,因为他们是被统治的。十一届三中全会上说:在我国,剥削阶级作为一个阶级已经被基本消除,阶级矛盾不再是我国的主要矛盾。于是,在这个理论下,(我觉得)只能是一部分无产阶级用暴力统治者另一部分无产阶级,虽然另一部分有(很少的)机会获得政权。 这意味着,获得政权的途径有两个:通过选举得到国家施暴权(暂且这么叫吧),或使用暴力推翻(原)政府的国家施暴权,建立新暴力政权。在获得国家施暴权以后,法律(即施暴的途径)当然可以在统治阶级的意志下被任意篡改,正如纳粹所做的那样。这就是(几乎仅有的)“合法”(不是反语,是特殊含义)侵犯法律的方式。   2. 政权的取得是有历史原因的。 中华人民共和国宪法(几乎)规定中国是共产党领导的,东欧国家以前也曾有过类似的规定。为什么他们会这么确定自己有保持政权的希望呢? … Continue reading

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